篇一：《数学分析下册》期末考试卷及参考答案
数学分析下册期末模拟试卷及参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）
1、已
知u?则?u?u?，??y?x
du?。
2、设L：x2?y2?a2，则??xdy?ydx?。
L
?x=3cost，L：3、设?（0?t?2?），则曲线积分?（x2+y2）ds=。 ?y=3sint.L
4、改变累次积分?dy?（fx，y）dx的次序为 。 2y33
x?y?1
，则??1)dxdy 。
5、设DD
二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，
共15分）
px0，y0）px0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一fx，y）fx，y）
阶偏导数。 ( )
px0，y0）px0，y0）2、若函数（在点（ 可微，则函数（在点（连续。 fx，y）fx，y）
( )
px0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0)，则 fx，y）
?必有 fxy(x0,y0)fyx(0x,0y) 。
L(B,A)( ) ( ) 4、L(A,B)?f(x,y)dx??f(x,y)dx。
5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（ 在D上可积。( ) fx，y）fx，y）
第 1 页 共 5 页
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、用格林公式计算曲线积分
I??(exsiny?3y)dx?(excosy?3)dy ，
?AO
AO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部分的路线。 其中?
、计算三重积分
???(xV2?y2)dxdydz， 是由抛物面z?x2?y2与平面z?4围成的立体。 第 2 页 共 5 页
3、计算第一型曲面积分
I???dS，
S
其中S是球面x2?y2?z2?R2上被平面z?a(0?a?R)所截下的顶部（z?a）。
4、计算第二型曲面积分
22 I????y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy，
S
其中S是立方体V??0,b???0,b???0,b?的外表面。
第 3 页 共 5 页
5、设D?(x,y)2?y2?R
曲顶柱体的体积。
四、证明题(每小题7分，共14分)
1、验证曲线积分
第 4 页 共 5 页 ?2?. 求以圆域D为底，以曲面z?e?(x2?y2)为顶的
?(x2?2yz)d?x(2y?2x)z?dy2(?z2，x) ydz
L
与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(x,y,z)。
2、证明：若函数（在有界闭区域D上连续，则存在(?,?)?D, fx，y）
使得
参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）
1、xyxy；；dx?dy。 22222222x?yx?yx?yx?y
2??f(x,Dy)?d?f?(?,?)D S ，这里SD是区域D的面积。 2、2?a；3、54? ； 4、?dx?f(x,y)dy；5
、1)。 223X
二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，共15分）
1、×； 2、○；3、×；4、× ； 5、○ .
第 5 页 共 5 页
篇二：数学分析：第12章数项级数
第十二章数 项 级 数
目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．
重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.
第一节 级数的收敛性
一 级数的概念
在初等数学中，我们知道：任意有限个实数u1,u2,?,un相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如
1111?2?3???n?? 从直观上可知，其和为1. 2222
又如， 1?(?1)?1?(?1)??. 其和无意义；
若将其改写为： (1?1)?(1?1)?(1?1)?? 则其和为：0；
若写为： 1?[(?1)?1]?[(?1)?1]??则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和；
如果存在，和等于什么.
1级数的概念
定义1 给定一个数列?un?，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式
u1?u2?u3???un?? （1）
称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中un称为级数（1）的通项.
级数（1）简记为：?un，或?un.
n?1?
2级数的部分和
Sn??uk?u1?u2???un称之为级数?un的第n个部分和，简称部分和.
k?1n?1n?
3 级数的收敛性
定义2若数项级数?un的部分和数列?Sn?收敛于S（即limSn?S），则称数项级
n?1n???
数?un收敛 ，称S为数项级数?un的和，记作
n?1n?1??
S??un=u1?u2?u3???un??.
n?1?
若部分和数列?Sn?发散，则称数项级数?un发散.
n?1?
例1 试讨论等比级数（几何级数）
?aqn?1?a?aq?aq2???aqn?1??，(a?0)
n?1?
的收敛性.
解：见P2.
例2 讨论级数 1111??????? 1?22?33?4n(n?1)
的收敛性.
解：见P2.
二 收敛级数的性质
1 级数与数列的联系
由于级数?un的敛散性是由它的部分和数列?Sn?来确定的，因而也可以认为数项级
n?1?
数?un是数列?Sn?的另一表现形式.反之，对于任意的数列?an?，总可视其为数项级数 n?1?
?u
n?1?n?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)??
的部分和数列，此时数列?an?与级数a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)??有相同的敛散性，因此，有
2 级数收敛的准则
定理1（级数收敛的Cauchy准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数?，总存在正
整数N，使得当m?N以及对任意的正整数p，都有 um?1?um?2???um?p??.
注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个?0?0，对任何正整数N，总存在正整数 m0(?N),p0，有um0?1?um0?2???um0?p0??0.
3级数收敛的必要条件
推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则
limun?. n??
注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3.
例3 讨论调和级数1?
的敛散性.
1?0，但当令 p?m时，有 n??n??n
1111?????um?1?um?2?um?3???u2m? m?1m?2m?32m
11111??????. ?2m2m2m2m2
1因此，取?0?，对任何正整数N，只要m?N和p?m就有 2111?????? 23n解：显然，有 limun?lim
um0?1?um0?2???um0?p0??0，
故调和级数发散.
例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 ?
证明：由于 um?1?um?2???um?p=111 ????(m?1)2(m?2)2(m?p)21收敛. n2
?111111???????. m(m?1)(m?1)(m?2)m?p?1)(m?p)mm?pm
1故对???0，取N?[]，使当m?N及对任何正整数p，都有 ?
1um?1?um?2???um?p???. m
故级数 ?1收敛. n2
4 收敛级数的性质
定理2 若级数?un与?vn都有收敛，则对任意常数c,d，级数?(cun?dvn)也收敛，
n?1n?1n?1???
且 ?(cun?dvn)?c?un?d?vn.
n?1n?1n?1???
即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立.
定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.
（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）.
若级数?un收敛，设其和为S，则级数 un?1?un?2?? 也收敛，且其和为
n?1?
（简称余项），它代表用Sn代替S时所产生的误Rn?S?Sn.并称为级数?un的第n个余项
n?1?
差.
定理4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）.
如：(1?1)?(1?1)???(1?1)???0?0???0??收敛，
而级数 1?1?1?1??是发散的.
作业 P51，2，3，4，5，6，7.
篇三：数学分析教案 (华东师大版)第十二章 数项级数
第十二章 数项级数
教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时
1 级数的收敛性
一． 概念 ：
1．级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项
部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为
. 2. 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思
想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .
例1 讨论几何级数
的敛散性.（这是一个重要例题！）
解
时, .级数收敛 ;
时, 级数发散 ;
时,,
,级数发散 ;
时, , ,级数发散 .
综上, 几何级数
0开始 ). 当且仅当
时收敛, 且和为
( 注意 从
例2 讨论级数
的敛散性.
解（利用拆项求和的方法）
例3 讨论级数
的敛散性.
解设
,
,
=
, .
, .
因此, 该级数收敛.
例4讨论级数
解
的敛散性. , . 级数发散.
3. 级数与数列的关系 :
对应部分和数列{
}, 收敛 {
}收敛;
对每个数列{
于是,数列{
}, 对应级数
, 对该级数, 有
收敛. =
.}收敛级数
可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .
4.级数与无穷积分的关系 :
, 其中
. 无穷积分可化为级数 ;
对每个级数, 定义函数
, 易见有 =
. 即级数可化为无穷积分.
综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .
二.级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{
}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 . Th( Cauchy准则 )
. 收敛
和
N,
由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前
项的级数表为
或.
系( 级数收敛的必要条件 ) 收敛
.
例5 证明
级数
收敛 .
证显然满足收敛的必要条件 . 令
, 则当
时有
应用Cauchy准则时，应设法把式 |
的式子，令其小于 ，确定
|不失真地放大成只含 而不含
.例6判断级数
( 验证
的敛散性. .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )
例7 ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数
发散 .
证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 )
证法二
证明{
}发散. 利用已证明的不等式
. 即得
，
.
三． 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ）
性质1 收敛， — Const
收敛且有
=
( 收敛级数满足分配律 )
性质
2 和
收敛 ，
收敛, 且有
=
、
. 问题
: 、
三者之间敛散性的关系.
收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 .
( 收敛数列满足结合律 ) 性质3 若级数
例8考查级数
该例的结果说明什么问题 ? 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .
2正项级数
一.正项级数判敛的一般原则 :
1. 正项级数 :
2. 基本定理 :
Th 1 设
散时, 有. 则级数
, 收敛
. 且当
发↗; 任意加括号不影响敛散性..( 证 )
正项级数敛散性的记法 .
3. 正项级数判敛的比较原则 :
Th 2设
则
ⅰ>< ,
< ;和
是两个正项级数 , 且
时有
,
= ⅱ> = ,
.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )
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